1 durch 1 minus q

Sie ist eine wichtige Reihe, die dir häufig in Beweisen und Herleitungen begegnen wird. Wir wiederholen die geometrische Summenformel. Mit dieser Formel können wir die Partialsummen der geometrischen Reihe explizit ausrechnen. Dort findest du auch einen Beweis der geometrischen Summenformel mit vollständiger Induktion. Beweisen wir nun die geometrische Summenformel:. Satz Geometrische Summenformel. Beweis Geometrische Summenformel. Mit dieser Formel können wir die Partialsumme explizit berechnen. Wir erhalten:. Damit erhalten wir zunächst:. Aufgabe Alternativer Beweis für die Konvergenz der geometrischen Reihe. Wie kommt man auf den Beweis? Alternativer Beweis für die Konvergenz der geometrischen Reihe. Beweis Alternativer Beweis für die Konvergenz der geometrischen Reihe. Satz Geometrische Reihe. Beispiel Geometrische Reihe. Aufgabe Beispiele geometrischer Reihen. Lösung Beispiele geometrischer Reihen. Man beachte, dass diese Reihe bei 1 und nicht bei 0 beginnt! Dementsprechend müssen wir die Reihe zuerst umformen, bevor wir die obige Formel anwenden können:.

1 mal 1 minus q: Grundlagen der Mathematik

Nehmen die Werte der Folgenglieder im umgekehrten Fall kontinuierlich möglicherweise unterschiedlich stark ab, so spricht man von einer monoton fallenden Folge. Bei einer konstanten Folge bleiben die Werte im Verlauf der Folge konstant. Es gilt somit für jede Folge :. Eine Folge wird beschränkt genannt, wenn es zwei reelle Zahlen und gibt, so dass die Werte aller Folgenglieder zwischen beiden begrenzenden Zahlen liegen, wenn also gilt:. Hierbei wird als untere Schranke und als obere Schranke bezeichnet. Die Folge ist konvergent zum Grenzwert , also gilt:. Die Folge ist divergent, sie hat keinen Grenzwert. Folgen, die den Wert Null als Grenzwert haben, nennt man Nullfolgen. Ihnen kommt eine besondere Bedeutung zu, denn allgemein gilt die Aussage, dass eine Folge den Grenzwert hat, wenn die Folge eine Nullfolge ist. Dieses Konvergenzkriterium wurde von Augustin-Louis Cauchy in eine noch nützlichere Form gefasst, mittels derer sich die Konvergenz einer Folge auch dann nachweisen lässt, wenn der Grenzwert nicht schon von vornherein bekannt ist.

1 x 1 - q: Einführung in die Algebra

Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge. Das bedeutet, dass die Folgenglieder bezüglich des Summenindex einen Exponentiellen Verlauf annehmen. Die Partialsummen der zugehörigen geometrischen Reihe ergeben sich durch Rekursion wie folgt:. Im Falle der hier abgebildeten Zweierpotenzen erscheinen stets die Mersenneschen Zahlen als Werte der Summe. Eine Reihe ist per Definition eine Folge von Partialsummen. Der Wert der Reihe ist der Grenzwert dieser Folge von Partialsummen. Eine endliche Summe ist somit ein Folgenglied aus der Folge der Partialsummen. Genau genommen wird in umgekehrter Reihenfolge die Reihe auf Grundlage von Partialsummen einer Folge definiert. Die obige und übliche Schreibweise für die Reihe gibt das aber nicht her, deshalb müssen wir aus ihr erst die Folge der Partialsummen rekonstruieren. Eine Berechnungsformel für den Grenzwert folgt weiter unten. Das Obige gilt, wenn die Folgenglieder Elemente eines unitären Ringes sind, also insbesondere, wenn es reelle Zahlen sind.

1 * 1 abzüglich q: Rechenoperationen verstehen

Das nun genannte Resultat entsteht dadurch, dass die genannte erzeugende Funktion durch x geteilt wird und daraus dann die Ursprungsstammfunktion aufgestellt wird. Diese Integrationskette kann mit dem zuvor gezeigten Muster noch weitergeführt werden. Dann entsteht eine Summe, die den Trilogarithmus enthält:. Es gilt für die harmonischen Zahlen: [4]. Gleichartige Klötze sollen so gestapelt werden, dass der oberste Klotz möglichst weit über den untersten ragt. Das Bild zeigt eine Anwendung der harmonischen Reihe. Jeder zusätzliche Stein entspricht einem weiteren Summanden in der harmonischen Reihe. Die Zahl der nötigen Steine steigt allerdings sehr rasch mit dem angestrebten Überhang. Für einen Überhang in 2,5-facher Steinlänge werden etwa Steine benötigt werden. Weitere Beispiele für die Anwendung der harmonischen Reihe sind das Sammler-Problem und das Problem der Gefangenen. Danach wird ein Allgemeinfall für diese beiden Beispiele präsentiert:. Die alternierende harmonische Reihe konvergiert:. Die Konvergenz folgt aus dem Leibnizkriterium , der Grenzwert lässt sich mit der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus und dem abelschen Grenzwertsatz berechnen.